Согласно новому доказательству, несчетно-бесконечное число лент Мёбиуса не поместится в трехмерном пространстве

В математике трехмерное пространство во всех направлениях простирается бесконечно. По идее, в неограниченное количество пустого места можно вместить бесконечное количество чего угодно. Однако, как показывает недавнее доказательство математика из МГУ Ольги Фролкиной, один довольно широко известный математический объект не может бессчетное число раз уместиться в бесконечном пространстве. Речь о ленте Мёбиуса — двумерной петле с поворотом на 180 градусов. Этот результат напоминает о том, что размещать поверхности в пространстве — дело тонкое, а природа бесконечностей контринтуитивна.

Слово «бесконечность» употреблено во множественном числе, так как бесконечности бывают разных размеров. Самая маленькая бесконечность аналогична множеству натуральных чисел — получится, если начать считать: один, два, три… и не останавливаться. Множество натуральных чисел счетно, как и любая группа объектов, из которых можно сформировать бесконечный список. Если поместить бесконечное число объектов реального мира в трехмерное пространство, их множество будет счетно-бесконечно: теоретически их можно перечислить, как будто у каждого из них сбоку нацарапан серийный номер.

Но некоторые множества чисел слишком велики, и включить все их элементы в список не получится. Вещественные числа, к примеру, включают в себя каждую точку числовой прямой — даже таких чудаков, которых можно представить в виде бесконечной непериодической дроби(например, число пи). Используя диагональный аргумент немецкого математика 19 века Георга Кантора, можно показать, что даже бесконечный список вещественных чисел не будет полным. Множество вещественных чисел доказуемо больше, чем множество натуральных, — оно несчетно-бесконечно или просто несчетно.

Это не значит, что несчетные множества объектов не могут существовать. Допустим, нам нужно поместить несчетный набор цилиндров в трехмерное пространство так, чтобы они друг друга не касались. Для этого помещаем все цилиндры на одной оси и задаем им разный диаметр в соответствии с каждой из несчетного множества точек на числовой прямой. Цилиндры вкладываются один в другой, как матрешки.

На первый взгляд может показаться, что с лентами Мёбиуса можно поступить похожим образом, но если взять ленту и попытаться вложить в нее еще одну, вторая лента в итоге окажется снаружи первой.

На самом деле, если бы одна лента постоянно оставалась внутри другой, это придавало бы ей ориентацию — в любой точке поверхности было бы понятно, где внутренняя сторона, а где внешняя. А этого не может быть, так как лента Мёбиуса — самый понятный пример неориентируемого многообразия.  Это математический объект, для которого нельзя определить внешнюю и внутреннюю стороны, которые не изменятся при перемещении в пространстве.

Тот факт, что ленты не могут располагаться одна в другой, как цилиндры, не означает, что не существует другого, более хитроумного способа их вложить. Он не доказывает принципиальную невозможность решения задачи, зато дает понять, в чем ее отличие для цилиндров и лент Мёбиуса.

При решении Фролкина опирается на дисциплину под названием общая топология. В 50-х и 60-х годах 20 века математики доказали ряд теорем о том, как разместить диски, сферы и прочие объекты в трехмерном пространстве.

В некотором роде эти ученые делали математические абстракции осязаемыми. Общая топология — это такая грубая геометрия: точные размеры и расстояния большой роли не играют, важна крупномасштабная структура.

Геометрически двумерная сфера — это множество точек, равноудаленных от единого центра (представьте себе мяч). Топологически же сфера — это то, что получится, если этот идеальный мяч сжать или растянуть, не разрывая и не склеивая. Конкретный способ расположения топологической сферы в пространстве называется вложением. Сфера может быть вложена в трехмерное пространство разными способами: может быть идеально круглой (вроде мыльного пузыря), вытянутой (подобно сосиске), или неровной и сплющенной, как мембрана амебы. Все эти формы удовлетворяют определению сферы.

Эти варианты вложения известны как правильные или ручные. Правильное вложение может занимать все пространство, а значит, можно растянуть или сжать само пространство и превратить вложенную сферу в обычную круглую.

Дикое вложение, напротив, не так просто представить, и для его описания обычно требуется некоторый бесконечный процесс. В случае дикого вложения невозможно трансформировать пространство так, чтобы снова сделать дикую сферу обычной круглой.

К примеру, чтобы сделать рогатую сферу Александера, нужно взять тор(фигуру в виде поверхности бублика или пончика) и сделать радиальный разрез. К концам разреза прикрепить по тору меньшего размера так, чтобы они находились в зацеплении, и повторить процесс, разрезая каждый тор и вставляя сцепленную пару торов поменьше. Рогатая сфера Александера получится, если повторить указанные действия бесконечное число раз. И хотя это не так просто проверить, но топологически данный объект является сферой, но вложенной дико. Рассматривая ее под увеличением, видно почти сцепляющиеся «рога» все меньших и меньших размеров.

Подобные дикие вложения может быть непросто разместить в пространстве. В середине 20 века математик Бинг (его полное имя — R. H. Bing, но инициалы никак не расшифровываются — прим. Newочём) доказал, что в трехмерное пространство можно без перекрытия вложить несчетно-бесконечное множество сфер или торов, если вложение правильное, а если дикое — нет. А вот с дисками история другая: можно вложить несчетное число непересекающихся дисков — и правильных, и диких.

Так, ну а с лентами Мёбиуса? В 1962 году русские математики Виктор Васильевич Грушин и Виктор Павлович Паламодов показали, что без пересечения несчетно-бесконечное число правильно вложенных лент Мёбиуса в трехмерное пространство поместить нельзя, но для дикого вложения вопрос оставался открытым.

Основываясь на трудах этих ученых, а также Бинга и других американских топологов, Фролкина расширила результат на дико вложенные ленты Мёбиуса. В своей работе она рассекает вложенные поверхности и анализирует способы, которыми рассеченные части могут располагаться в пространстве.

Фролкина рассматривает аналогичную задачу и для пространств большей размерности. Она взяла n-мерные неориентируемые многообразия, где n больше или равно 3, и показала, что только счетное число этих многообразий может правильно поместиться в пространство размерности n+1.

Диких вложений в пространства больших размерностей ее работа не касается. Зато в небольшой статье, размещенной на сервере для препринтов arxiv.org, ее продолжил Сергей Мелихов, математик из Математического института им. В. А. Стеклова РАН (г. Москва), который рецензировал работу Фролкиной для научного журнала Journal of Knot Theory and Its Ramifications. С помощью алгебраических методов, более абстрактных, но в данном случае более эффективных он устранил ограничение на правильность вложения для пространств большей размерности. Вместе работы Фролкиной и Мелихова показывают, что невозможно вместить несчетное множество неориентируемых многообразий в пространство, ни в случае правильного вложения, ни в случае дикого.

Общая топология уже не так популярна, как в 60-е годы прошлого века, но некоторые открытые вопросы более активной области топологических исследований — теории узлов —  имеют, по выражению Мелихова, «привкус» общей топологии, а более глубокое понимание диких вложений может оказаться полезным в этой области. В теории узлов дикость в определенном смысле типична, так как большинство узлов дико вложены в окружающее пространство. Дикие вложения привлекают Фролкину, поскольку раздвигают границы человеческого понимания. «Всегда интересно взглянуть на то, что находится по ту сторону привычных вещей», — говорит она. В своих исследованиях топологи часто ограничиваются вопросами более «послушных» пространств, но, по ее словам, «когда натыкаешься на дико вложенный объект или то, что противоречит интуиции, это всегда знаменательное событие».

Оригинал: Quanta Magazine
Автор: Эвелин Лэм

Переводил: Леонид Рогов
Редактировал: Александр Иванков