Теплым весенним утром Джун Ху шел в зал Макдоннелла Пристонского университета, где его ждали студенты. Однако он не был уверен, что идет в нужном направлении. Ху работает в элитарном Институте перспективных исследований, который располагается неподалеку от студгородка Принстона. Будучи сотрудником института, Ху не обязан преподавать. Тем не менее, он вызвался прочитать студентам продвинутый курс по коммутативной алгебре. Когда я спросил Ху, зачем ему это нужно, тот ответил: «Когда ты учишь, то делаешь что-то хорошее. Когда проводишь исследования — большую часть времени ты бесполезен».
Мы добрались до аудитории за несколько минут до начала занятий. Девять студентов рассредоточились по рядам. Один из них спал, положив голову на стол. Ху расположился в переднем углу аудитории и достал несколько помятых листов из рюкзака. Без лишнего шума он нашел место, на котором остановился неделю назад. В течение последующих 80 минут Ху познакомил студентов с доказательством теоремы немецкого математика Давида Гильберта, которое стало одним из важнейших прорывов 20 века в области математики.
В немногих университетах студентам-бакалаврам преподается коммутативная алгебра. Но это привычная практика для Принстона, куда ежегодно поступают наиболее перспективные молодые математики мира. Как минимум по этой причине, считает Ху, находившиеся в аудитории в то утро студенты могут считаться необычайно талантливыми. Один из сидящих в первом ряду был единственным человеком, выигравшим пять золотых медалей на Международной математической олимпиаде.
Карьера Ху начиналась с меньшим успехом. Скверный результат контрольной в начальной школе убедил Ху, что он не очень хорошо разбирается в предмете. В подростковом возрасте он мечтал стать поэтом. У Ху не было диплома математика. Когда он подавал заявления в аспирантуру, ему отказали все университеты, кроме одного.
Девять лет спустя, в 34 года Ху оказался на вершине математического мира. Наибольшую известность ему принесло решение давней задачи: совместное с Эриком Кацем и Каримом Адипрасито доказательство гипотезы Роты.
Заслуживает внимания не только само доказательство теоремы, но и то, как ученые пришли к нему. Они нашли способ переосмыслить идеи из одной математической области в другой, к которой те, казалось, не имели никакого отношения. Прошлой весной Институт перспективных исследований предложил Ху долгосрочную стипендию, которую до этого получали лишь три математика. Два из них (Владимир Воеводский и Нго Бао Тяу) были впоследствии удостоены Филдсовской премии — высшей награды в этой области.
Ху заинтересовался математикой в достаточно позднем для этого возрасте. Его успех кажется невероятным, как если бы он впервые взял в руки теннисную ракетку в 18 лет, а в 20 выиграл Уимблдон. Подобное редко происходит в математике. Как правило, для совершения открытия требуются годы специализированной подготовки. Однако было бы ошибкой рассматривать достижения Ху как нечто произошедшее лишь вопреки его нетипичному началу карьеры. Во многих отношениях успех является продолжением его уникальной истории, результатом случайного знакомства в университете с именитым ученым, который каким-то образом разглядел в Ху скрытый талант.
Случайный ученик
Ху родился в 1983 году в Калифорнии, где его родители учились в аспирантуре. Семья вернулась в Сеул, когда мальчику было 2 года. Его отец преподавал статистику, а мать стала одним из первых профессоров русской литературы в Южной Корее с момента начала Холодной войны.
Ху признается, что после неудачной контрольной в начальной школе он стал настороженно относиться к математике. Он не считал, что хорош в ней, поэтому решил рассматривать эту науку как бесплодную погоню за одним логически необходимым утверждением, за которым прячется другое. Будучи тинейджером, он пристрастился к поэзии, найдя в ней истинное творческое выражение: «Я знал, что умен. Но мои оценки говорили об обратном. Поэтому я начал писать стихи».
Ху написал много стихотворений и несколько новелл, в основном о своих подростковых переживаниях. Ничего из этого не было опубликовано. К моменту зачисления в Сеульский национальный университет в 2002 году Ху понял, что не сможет зарабатывать на жизнь поэзией, и решил стать научным журналистом. Он специализировался на астрономии и физике, возможно, неосознанно следуя своим скрытым аналитическим способностям.
В последний год Ху в колледже, когда ему было 24 года, в Сеульский университет в качестве приглашенного преподавателя прибыл известный японский математик Хэйсукэ Хиронака. Профессору в то время было немногим за 70, в Японии и Южной Корее он считался настоящей знаменитостью. В 1970 году Хиронака получил премию имени Филдса, а после написал книгу мемуаров «Радость обучения» (The Joy of Learning), которая стала популярной среди целого поколения родителей в Японии и Корее. Книгу покупали детям в надежде на то, что из них вырастут великие математики. В Сеульском университете Хиронака читал курс лекций по алгебраической геометрии, достаточно общему разделу математики. Программа была рассчитана на один год. Ху стал посещать лекции Хиронаки, надеясь, что профессор станет первым героем его журналистской работы.
Изначально вместе с Ху на курс записались более 100 студентов, у большинства из которых математика была профилирующей. Но через несколько недель после начала число слушателей значительно сократилось. Ху предполагает, что другие студенты перестали ходить на занятия Хиронаки, посчитав их слишком сложными. Он же остался, потому что не ждал того, на что надеялись математики.
«Они отказались от курса, потому что мало что понимали. Конечно, я тоже ничего не понимал, но у студентов-нематематиков обычно другой подход, — отметил Ху. — Мне были понятны некоторые простые примеры, которые Хиронака показывал в классе, и этого было достаточно».
Ху хотел воспользоваться возможностью и после занятий старался пообщаться с профессором. Вскоре они стали вместе обедать. Хиронака вспоминает, каким инициативным студентом был Ху: «Обычно я не отказываюсь от разговора со студентами, но и не ищу общения с ними. Джун стал сам обращаться ко мне».
Во время совместных обедов Ху интересовался жизнью профессора, но разговор постоянно переходил на математику. Ху старался не выдать себя и не показаться невеждой. «Каким-то образом мне удавалось хорошо притворяться, что я понимаю все, о чем он говорит», — рассказывает Ху. Хиронака действительно не замечал отсутствия профильного образования у своего ученика: «Ничего такого не припомню. Он произвел на меня очень неплохое впечатление».
По мере продолжения бесед за обедом отношения преподавателя и студента крепли. Ху окончил Сеульский университет, а Хиронака остался преподавать еще на два года. В это время Ху начал работу над магистерской по математике, в основном под руководством Хиронаки. Почти все время они проводили вместе. Иногда профессор ездил домой в Японию, и Ху сопровождал его в этих поездках. Он носил сумки профессора в аэропорту и даже ночевал в квартире профессора и его жены в Киото.
«Я спросил Джуна, не хочет ли он забронировать номер в гостинице, но оказалось, он не любит отели. Поэтому он остановился у меня», — рассказывает Хиронака.
В Сеуле и Киото профессор и бывший студент продолжали вместе обедать и ходить на долгие прогулки, во время которых известный математик фотографировал цветы. Завязалась дружба. «Мы хорошо относились друг к другу и беседовали не только о математике», — рассказывает Хиронака.
В то же время они продолжали заниматься наукой. Во время обучения профессор старался объяснять на конкретных примерах, доступных для понимания Ху, и не использовать общие теории, сложные для восприятия. В частности, Хиронака рассказывал Ху о нюансах теории сингулярности — области, в которой получил наибольшую известность. Математик на протяжении десятилетий пытался найти доказательство важнейшей задачи — разрешения особенностей по характеристике p. «Это проект всей его жизни, мы говорили в основном о нем, — вспоминает Ху. — Очевидно, он хотел, чтобы я продолжил эту работу».
В 2009 году по настоянию профессора Ху подал документы в несколько учебных заведений США, чтобы учиться в аспирантуре. Ему не доставало квалификации — в колледже на математике он не специализировался, а посетил лишь несколько математических курсов, и его результаты нельзя было назвать выдающимися. Одним из главных аргументов в заявке на поступление была рекомендация от Хиронаки. Большинство приемных комиссий это не впечатлило. Ху отказали почти все учебные заведения, кроме Иллинойсского университета в Урбане-Шампейне, где он начал обучение осенью 2009 года.
Задачи с графами
В Иллинойсе Ху начал работу, в ходе которой смог доказать гипотезу, сформулированную итальянским математиком Жан-Карло Ротой 56 лет назад. Она касается графов — комбинаторных объектов, которые похожи на фигуры из детского конструктора Tinkertoy. Графы представляют собой «комбинации» точек и линейных отрезков, соединенных друг с другом.
Рассмотрим простой граф — треугольник.
Математиков интересует следующее: сколько существует вариантов раскраски вершин треугольника при наличии нескольких цветов и условия, что вершины, имеющие общее ребро, не могут быть одного цвета. Допустим, количество цветов равно q. В таком случае:
- q — первая вершина, потому что в начале вы можете выбрать любой цвет;
- q – 1 — смежная вершина, потому что ее цвет должен отличаться от цвета первой вершины;
- q – 2 — третья вершина, потому что для нее нужно выбрать цвет, отличный от цвета двух других вершин.
Общее число вариантов раскраски можно получить при умножении всех возможных опций. В нашем случае получаем: q x (q – 1) x (q – 2) = q3 – 3q2 + 2q.
Такое уравнение называется хроматическим многочленом этого графа. Оно обладает несколькими интересными свойствами.
Возьмем коэффициенты каждого члена: 1, –3 и 2. Абсолютное значение этой последовательности — 1, 3, 2 — обладает двумя свойствами. Во-первых, она «унимодальна». Это значит, что в последовательности есть только одно максимальное значение. До него значения только возрастают, после — только убывают.
Во-вторых, ее коэффициенты логарифмически вогнуты. Это значит, что любые три числа в этой последовательности должны соответствовать следующему правилу: результат умножения двух чисел, между которыми стоит третье, должен быть меньше, чем квадрат третьего числа. Например, последовательность 1, 3, 5 удовлетворяет этому требованию, так как 1 x 5 = 5, что меньше 3^2. А последовательность 2, 3, 5 не удовлетворяет, так как 2 x 5 = 10, что больше 3^2.
Можно представить бесконечное число графов, в которых будет огромное количество вершин и ребер, соединенных между собой различными способами. У каждого из этих графов будет свой хроматический многочлен. А коэффициенты хроматического многочлена всех графов, что изучали математики, были одновременно и унимодальны, и логарифмически вогнуты. Утверждение, что это справедливо для всех случаев и есть гипотеза Рида, доказательством которой занимался Ху.
В каком-то смысле гипотеза Рида противоречит сама себе. Чтобы понять это, нужно разобраться, как можно разделять графы и соединять их обратно. Для этого рассмотрим немного более сложный граф — прямоугольник.
Хроматический многочлен прямоугольника вычислить сложнее, чем хроматический многочлен треугольника. Но каждый граф можно разбить на подграфы, с ними проще работать. Подграфами могут считаться любые графы, которые образуются при удалении из первоначального графа одного или нескольких ребер:
Или путем наложения одной вершины на другую:
Хроматический многочлен прямоугольника равен хроматическому многочлену прямоугольника с удаленным ребром минус хроматический многочлен треугольника. При этом возникает предположение, что способов «раскрасить» прямоугольник без одного ребра больше, чем способов «раскрасить» треугольник: в первом случае две вершины не соединены друг с другом ребром и вариантов для раскраски больше (вы можете, например, раскрасить их в один цвет, что нельзя сделать при наличии соединительного ребра). Но сколько дополнительных вариантов раскраски возникает в таком случае? Столько, сколько возникает при «раскраске» треугольника.
Хроматический многочлен любого графа можно определить через хроматические многочлены подграфов. Их коэффициенты всегда будут логарифмически вогнуты.
Но когда вы складываете две логарифмически вогнутые последовательности или вычитаете одну из другой, в результате получается последовательность, которая не является логарифмически вогнутой. По этой причине можно предположить, что это свойство исчезнет при совмещении хроматических многочленов. Но оно не исчезает. Происходит нечто иное. «Именно поэтому людей так интересует феномен этого свойства», — считает Ху.
В поисках спрятанной структуры
Ху не знал ничего из этого, когда прибыл в Иллинойс. Как правило, аспиранты-первокурсники не занимаются исследованиями, а проводят большую часть времени на лекциях. Но после трех лет учебы у Хиронаки у Ху появились идеи, которые он хотел реализовать.
За первую зиму своего пребывания на Среднем Западе Ху разработал методы применения к графам теории математической сингулярности, которую он с особым вниманием изучал с Хиронакой. При этом Ху обнаружил, что, когда он выделял область с сингулярностью из графа, он мог использовать теорию графов для обоснования свойств всего графа — например, объяснить, почему коэффициенты многочлена, задающего граф, будут создавать логарифмически вогнутую структуру.
Это заинтересовало Ху, и он проштудировал литературу по теории графов, чтобы посмотреть, не описывал ли кто до него логарифмически вогнутые структуры. Как оказалось, подобные кривые все еще оставались загадкой для теоретиков.
«Позже я узнал, что эти структуры представляли собой гипотезу Рида. В каком-то смысле я решил проблему, ничего о ней не подозревая», — рассказывает Ху.
Непроизвольное доказательство теоремы Рида путем объединения теории сингулярности с теорией графов — следствие неопытности Ху. Он изучал науку в основном самостоятельно или во время внеклассных занятий с Хиронакой. Каждый, кто последние пару лет наблюдал за подъемом Ху, полагает, что благодаря отсутствию опыта он не следовал общепринятым математическим методам. «Если представить математику в виде материка, поделенного на страны, то Джуну никто не сказал о существовании границ. Он не был ограничен никакими рамками», — заметил Робберт Дижкграф, директор Института перспективных исследований.
Вскоре после публикации доказательства гипотезы Рида Мичиганский университет пригласил Ху. В начале декабря 2010 года он выступил перед аудиторией тех самых преподавателей, которые годом ранее отказали ему в приеме в аспирантуру. К этому времени его талант стал очевиден для других математиков. На тот момент Джесс Касс был постдокторантом Мичиганского университета. «Один из старших преподавателей незадолго до визита Ху порекомендовал мне послушать его речь: „Через 30 лет ты сможешь рассказать внукам, что слушал Ху еще до того, как он стал знаменитым“», — вспоминает Касс, профессор Университета Южной Каролины.
Выступление было впечатляющим.
«Его лекция была тщательно продумана и предельно ясна. Он затронул все нужные аспекты. Нечасто услышишь от аспиранта столь великолепную речь», — сказал математик Мирча Мустацэ.
После лекции Мичиганский университет предложил Ху сотрудничество, и он согласился. К этому моменту он уже знал, что гипотеза Рида — это частный случай более значительной задачи, гипотезы Роты.
Гипотеза Роты очень схожа с гипотезой Рида, только вместо графов она рассматривает более абстрактные комбинаторные объекты — матроиды (граф можно считать особым видом матроида) и характеристические многочлены (другого рода уравнение, описывающее матроид). Проблема та же: гипотеза Роты предсказывает, что коэффициенты характеристического многочлена для любого матроида всегда будут представлять собой логарифмически вогнутую структуру.
Условие простое, и подтверждений для него достаточно. Однако объяснить, почему появляется логарифмически вогнутая структура, сложно. В самих матроидах нет ничего, что помогло бы понять, почему логарифмическая вогнутость будет неизменно появляться при сложении или вычитании характеристических многочленов подматроидов (также нет очевидных причин для появления изогнутости при сложении или вычитании характеристических многочленов графов). Если наблюдается структура, причина появления которой непонятна, вполне логично начать копать вглубь в поисках корней этого «древа». Именно этим и занялись Ху и его товарищи, начав работу по доказательству гипотезы Роты.
«Логарифмическую вогнутость можно увидеть на конкретных примерах, — объяснил Ху. — Достаточно рассчитать необходимую последовательность. Сложность в том, чтобы объяснить, почему так происходит».
Поначалу Ху пытался применить методы теории сингулярности, которая помогла ему в решении гипотезы Рида, однако быстро понял, что они не работают в более абстрактном мире матроидов.
Эта неудача заставила его искать другие структуры, спрятанные внутри матроидов, способные математически объяснить такое поведение.
Пересекая границы
Иногда крупные прорывы в понимании явлений происходят тогда, когда человек расширяет применение четко обоснованной теории из одной области до, казалось бы, никак не связанного явления из другой. Например, гравитация. Люди всегда понимали, что предметы падают на землю, если их бросить с высоты. И небеса стали ближе к нам, когда Ньютон открыл, что та же сила влияет и на движение планет.
В математике подобное происходит постоянно. В своем широко цитируемом эссе 1994 года «О доказательстве и прогрессе в математике» известный математик Уильям Тёрстон объяснял, что существуют десятки различных интерпретаций понятия «производная». Одну из них мы узнаем из алгебры: производная — это мера бесконечно малого изменения функции. Но производная появляется и в других вариантах: как касательная к графику функции или мгновенная скорость, заданная функцией за определенное время. «Это скорее различные пути понимания и восприятия производной, нежели список логических определений», — писал Тёрстон.
Работа Ху над гипотезой Роты включала в себя переосмысление священной области математики — теории Ходжа. Она была создана в 50-х годах прошлого века шотландским математиком Уильямом Ходжем. Называя ее «теорией», вы тем самым говорите, что это изучение некоего определенного явления, как «теория правильных треугольников» изучает правильные треугольники. В теории Ходжа объектом исследования являются когомологические кольца однородных проективных множеств.
Трудно не согласиться с тем, насколько мало общего у гипотезы Ходжа с графами и матроидами. Когомологические кольца здесь являются результатом плавной функции, которая неразрывно связана с понятием бесконечности. Для сравнения: комбинаторные объекты, графы и матроиды, являются делимыми, то есть состоят из точек и прямых. Спросить о том, для чего нужна теория Ходжа в области матроидов — это почти то же самое, что попытаться вычислить квадратный корень из сферы. В этом нет никакого смысла.
И все же смысл был обнаружен. За почти 60 лет с создания теории математики обнаружили ряд случаев появления структур, описываемых Ходжем, в условиях довольно далеких от оригинального алгебраического контекста. Как если бы теорему Пифагора, которая применяется исключительно для описания прямоугольных треугольников, стали бы использовать для описания простых чисел.
«Есть ощущение, что эти структуры, где бы они ни существовали, являются базовыми. Они помогают понять математические явления, которые сложно объяснить другими способами», — пояснил Ху.
Некоторые новые условия были комбинаторными, что и заставило Ху искать связь между теорией Ходжа и логарифмически вогнутыми структурами. Однако поиск знакомых математических явлений в других областях не так прост. Это все равно, что искать внеземную жизнь — возможно, есть представление о ее характерных особенностях, какие-то подсказки о месте поиска, но все равно сложно предугадать, как выглядит эта новая форма жизни.
Расширение сотрудничества ученых
В последние годы большую часть своей работы Ху выполнял вместе с математиками Эриком Кацем из Университета штата Огайо и Каримом Адипрасито из Еврейского университета в Иерусалиме. Это довольно необычное трио.
Адипрасито мечтал стать шеф-поваром и долгое время путешествовал по Индии, прежде чем посвятил себя комбинаторике — разделу, в котором изучаются теория графов и гипотеза Роты. В старших классах ему нравилась математика, но он отказался от нее. «В ней не хватало творчества», — вспоминает Адипрасито. Кац фанатичен. Он ошеломляюще много знает об инди-группах благодаря работе в качестве ди-джея на радио в колледже. Из всех троих он, пожалуй, обладает наиболее типичной математической базой и ощущает себя интерпретатором креативных идей несостоявшихся поэта и шеф-повара.
«У Карима полно поразительных идей, взятых из ниоткуда, а у Джуна — красивейшее видение математики. Временами сложно подчинить идеи Карима видению Джуна, и тогда я в ходе общения с первым стараюсь перевести его идеи на математический язык», — делится Кац.
Кац узнал о работе Ху в 2011 после того, как тот доказал гипотезу Рида, но до каких-либо успехов в работе над гипотезой Роты. Кац изучил доказательство теоремы Рида и заметил, что убрав один из шагов, методы Ху можно применить, чтобы частично доказать гипотезу Роты. Он связался с ученым, и в течение нескольких месяцев они написали работу, опубликованную в 2012 году. В ней объяснялась логарифмическая вогнутость для небольшого класса матроидов, известных как «реализуемые» матроиды («realizable» matroids).
И все же эта работа не решала самый сложный вопрос в гипотезе Роты — доказательство логарифмической вогнутости для «нереализуемых» матроидов («nonrealizable» matroids), к которым относится большинство. Теория Ходжа изначально разрабатывалась в 50-х годах на объектах, называемых когомологическими кольцами алгебраических множеств. Если вам требуется доказать, что структуры по типу Ходжа объясняют феномен, наблюдаемый в матроидах, то нужно будет объяснить, как что-то вроде когомологического кольца может быть извлечено из матроида. В случае «реализуемых» матроидов существовал очень простой способ это сделать, и потому доказательство этой части гипотезы Роты так быстро удалось ученым. Но в случае с «нереализуемыми» матроидами не было очевидного варианта иллюстрации когомологического кольца, подобно тому, как в языке не нашлось бы подходящего слова для описания существующего понятия.
На протяжении четырех лет Ху и Кац безуспешно пытались определить, что представляет структура Ходжа применительно к «нереализуемым» матроидам. В процессе работы они пришли к выводу, что одного из аспектов теории, известной как теорема индекса Ходжа, будет достаточно для обоснования логарифмической вогнутости. Но тут была ловушка: они не могли найти способа для достоверного доказательства того, что теорема индекса Ходжа была применима к матроидам.
Именно тогда на помощь пришел Адипросито. В 2015 году он отправился в Институт перспективных исследований и навестил Ху. Адипросито понял, что хоть теорема об индексе Ходжа сама по себе и может объяснить логарифмическую вогнутость, для обоснования ее применимости к матроидам следовало доказать значительно большее число идей из теории Ходжа, включающей теорему индекса Ходжа. Группа ученых назвала это «набором Кэлера».
«Я сказал Джуну и Эрику, что есть возможность доказать это в чистых комбинаторных условиях. И вскоре у нас появился план. Думаю, они поставили задачу, а я предоставил метод решения», — вспоминает Адипросито.
Это позволило полностью доказать гипотезу Роты. Ученые опубликовали свою работу онлайн в ноябре 2015 года, и тогда она покорила весь математический мир. Она предоставила полноценное видение теории Ходжа в рамках комбинаторики, что в свою очередь определило совершенно новый подход к неразрешенным вопросам в этой области.
Публикация повысила авторитет Ху. Он получил новую должность в Институте перспективных исследований. Его часто называют одним из основных претендентов на получение Филдсовской премии, вручаемой каждые четыре года наиболее выдающимся математикам в возрасте до 40 лет. Если ученый не получит ее в 2018 году, у него еще будет возможность претендовать на нее в 2022.
Студент избрал свой путь
В 2012 году Ху читал лекцию о доказательстве гипотезы Рида в Сеульском национальном университете. В зале присутствовал Хиронака, который был сильно удивлен, что теория сингулярности может быть применима к графам. После он спросил у своего бывшего ученика, означает ли новая работа перемену в его научных интересах.
«Помню, как я спросил, не стал ли он из-за увлечения графами равнодушен к сингулярности. Джун возразил, что она ему по-прежнему интересна», — рассказывает Хиронака.
Ху тоже помнит этот разговор. В то время он действительно погрузился в совершенно новый раздел математики. Ученый считает, что просто не готов был тогда признать это вслух, особенно перед человеком, столько сильно повлиявшим на его жизнь. «Именно тогда менялось направление моего научного пути. Думаю, Хиронака почувствовал это. Возможно, какой-то психологический барьер заставил меня скрыть, что теория сингулярности осталась для меня всецело позади», — делится Джун.
С тех пор Ху и Хиронака не встречались. Хиронаке сейчас 86 лет. Он вышел на пенсию, но продолжает работать над решением одной из задач теории сингулярности, которая занимает его на протяжении нескольких десятилетий. В марте он опубликовал крупную работу на своей старой факультетской страничке на сайте Гарвардского университета, которая, по его словам, предоставляет доказательство. Другие математики, включая Ху, предварительно ознакомились с ней, но пока не подтвердили наличия решения. Хиронаке тяжело путешествовать, но он мечтает вновь увидеть Ху. «Я о нем только слышу», — огорчается он.
В гостях у Ху за чашкой кофе я спросил, какие чувства он испытывает, отказавшись идти по стопам Хиронаки, который возлагал на него большие надежды. Немного подумав, Ху ответил, что чувствует себя виноватым.
«Очень часто с Хиронакой мне приходилось изображать понимание. Отсутствие знаний математических основ не позволяло мне заняться серьезной совместной исследовательской деятельностью с ним. Можно сказать, это своего рода домашнее задание на годы вперед».
В то же время Ху рассматривает пройденный им путь как шаг в нужном направлении и, возможно, как необходимую ступень в развитии его карьеры. «Мне нужно пространство для размышлений», — заметил Ху, прощаясь со мной на улице, прежде чем переступить порог института. Он нашел свой собственный путь к математике, и раз уж он здесь, то он найдет и свою дорогу в ней.
Оригинальная статья переиздана с разрешения Quanta Magazine, независимой от редакции публикации Фонда Саймонса, миссией которого является популяризация науки путем освещения научно-исследовательских разработок и тенденций в математике, физике и биологии.
Оригинал: Wired.
Автор: Кевин Хартнетт.
Переводили: Анна Василенко, Светлана Писковатскова, Мария Елистратова, Евгения Власова.
Редактировали: Алёна Зоренко, Анастасия Железнякова.
