Среднее время прочтения — 14 мин.

Что будет, если взять 50 математиков и отвезти их в лес? Сейчас мы это и узнаем.

В феврале 2020 года, еще до того, как из-за пандемии были закрыты целые города и страны, я провел четыре дня в обществе 50 математиков в Математическом институте Обервольфаха в Шварцвальде — живописном лесу на юге Германии. Большую часть года здесь проводятся небольшие конференции, посвященные различным областям математики. Моей целью было погрузиться в мир людей, посвятивших жизнь этой науке: делить с ними обед, сидеть на задних партах на лекциях и подслушивать их разговоры в коридорах и попытаться выяснить, как подобный опыт может способствовать математическим открытиям.

Добраться до института нелегко. Я следовал рекомендованному маршруту: сначала прилетел во Франкфурт, затем два часа ехал на поезде до деревни Вольфах и еще полчаса — на такси вдоль реки Вольф. В конце концов я разглядел институт, который прятался посреди зелени на склоне холма.

В этом и есть его прелесть.

Я увидел комплекс невысоких прямоугольных зданий с окнами, соединенных мощеными дорожками и будто встроенных в окружающие холмы. Я заплатил таксисту и вошел в светлый холл главного здания. 

Я поднялся по открытой лестнице, которая привела меня к жилым комнатам по типу общежития. Справа от меня была пустая и тихая столовая, залитая мягким вечерним солнечным светом. Я подошел к небольшому стенду со старыми фотографиями и взял одну из них в руки. Это был черно-белый снимок 1950-х годов: математики в летней одежде и в очках в роговой оправе гуляли по окрестностям, куря сигареты. Это напомнило мне летний лагерь.

Меня встретила Аннет Диш. Она проработала в приемной института более половины его 76-летней истории. Аннет намекнула, что если я буду гулять слишком долго, то могу не застать ее на рабочем месте. «Заслуженный отдых?» — предположил я, и она радостно заулыбалась в ответ.

Это был обычный день. Все математики были в соседнем помещении, где проходила вечерняя лекция. Следующая начиналась через 25 минут, а в 18:30 они обычно отправляются на ужин. Аннет показала мое жилище — комнату номер 212. Я замялся на выходе, и она сразу поняла почему: «В Обервольфахе нет ключей, но вы можете запереть дверь на ночь изнутри».

Институт сделал все, чтобы минимизировать отвлекающие факторы, устранить любые барьеры и настроить ученых на волну открытий. Отсутствие замков, ограниченный доступ в интернет, комплексные обеды и произвольно присваемые математикам места в столовой перед каждым приемом пищи. 

«Суть в том, чтобы люди не общались с одними и теми же знакомыми в течение всего времени, — объяснил мне Штефан Фридль, один из организаторов лекции на той неделе. — Институт хочет, чтобы ученые заводили новые знакомства».

Каждый день, кроме среды, в институте подают пирожные. По средам математики отправляются в пешую прогулку по проселочной дороге до деревушки у Обервольфахской церкви, чтобы купить шварцвальдский вишневый торт (он же «Черный лес») — знаменитый шоколадный десерт региона. В свободном доступе имеется и алкоголь: в столовой стоит холодильник, до верха набитый бутылками немецкого пива, бочка красного вина с краном и шнапс по 1 евро за бокал. Все работает по системе самообслуживания и на честном слове: взял бутылку — положи в коробку монету.

Введение в топологию

Темой еженедельного собрания в этот раз стала низкоразмерная топология, которая, несмотря на название, является достаточно простым предметом для непосвященных в продвинутую математику.

Прямая одномерна; плоскость xy двумерна; бильярдный шар трехмерен. Вы наверняка это знаете. Понятие «низкоразмерный» относится к подобным фигурам, включая четвертое измерение. Если вы не можете представить четырехмерную фигуру, не переживайте: большинство математиков тоже не могут.

Топология рассматривает только определенные свойства фигур. Ее не интересуют углы, длина и количество сторон — этим занимается тесно связанная с ней геометрия. Топология же занимается другими вопросами: есть ли в фигуре отверстия, а если есть, то сколько; как одну фигуру можно преобразовать в другую, не разрезая и не разрывая ее, а будто лепя из пластилина.

И кстати, топологи не используют слово «фигуры». Они используют точный математический термин «многообразие». Но если вам проще и привычнее называть многообразия фигурами, то ничего страшного.

Самым выдающимся достижением топологии за последние 30 лет стало доказательство Григорием Перельманом гипотезы Пуанкаре в 2003 году, которая гласит, что любое трехмерное многообразие, не имеющее отверстий, эквивалентно трехмерной сфере. Кубик льда, тарелка или гранат — все они одинаковы с точки зрения топологии.

Первую лекцию, на которой я присутствовал, вел Марк Пауэлл — доцент Университета Дарема. Она проходила в аудитории в здании библиотеки по соседству со столовой. Главной особенностью аудитории были передвижные доски (как на фотографии выше). Как только профессор исписывал одну из досок, он просто отодвигал ее в сторону и продолжал писать на следующей.

Пауэлл в хорошей форме, побрит налысо. На нем было поло, рукава плотно облегали его руки. Он кратко описал текущий прогресс в изучении четырехмерной топологии. В двух словах, в этой области еще многое предстоит сделать. Математики обладают лишь смутным представлением о том, как следует идентифицировать даже самые базовые четырехмерные многообразия, не говоря уже о полноценной их классификации, что является конечной целью этой области в настоящий момент.

«Мы пока даже не знаем, как идентифицировать четырехмерную сферу», — признал Пауэлл.

В течение лекции профессор затронул 5 нерешенных проблем четырехмерной топологии, в том числе теорему Шёнфлиса о расположении трехмерной сферы внутри четырехмерной и задачу развязывания. Математика дает ответ на каждую из них, но лишь для измерений ниже четвертого.

Рассказывая об этих задачах, Пауэлл словно подчеркивал разницу между нематематиками и математиками. Первым кажется, что математика — полностью изученный предмет. Я заметил это за все время работы репортером в математической сфере. Для вторых же все совершенно наоборот. Они считают математику неизвестным континентом, который они лишь начали исследовать на самом побережье и лишь изредка совершая экспедиции вглубь территории.

И, конечно же, преодолевать такой путь намного проще не в одиночку, а вместе с коллегой.

Обед

На обеде во вторник — в день, когда мне исполнилось 39, — я сидел за столом с Приям Патель, молодым математиком из Университета Юты, яркой и энергичной девушкой с большими глазами.

Пока мы ели салат и шницель, Приям рассказала мне, что практически каждый ее труд написан совместно с другими математиками. Для прошлого поколения это была редкость, сейчас же это обычное явление.

«Если сравнить среднее число авторов математических трудов в 1920 и в 2020, оно значительно возросло», — рассказал мне Дэвид Фьютер, доцент Университета Темпл и один из участников воркшопа.

Такие изменения неслучайны. Технологии сделали сотрудничество проще, чем когда-либо. Кроме того, сейчас известно намного больше областей математики, и при решении проблемы хорошо задействовать специалистов, багаж знаний которых немного (а иногда и значительно) различается. В этом и есть суть пребывания в институтах, подобных Обервольфаху. Например, по его образцу были созданы Международная исследовательская станция в Банфе (Канада) и Математическая школа в Оахаке (Мексика).

«Цель — собрать в одном месте 50 людей, достаточно близких к математике, чтобы иметь общие темы, но достаточно разных, чтобы иметь разные идеи и подходы», — объяснил мне Фридль. Они исследовали достаточное количество мест поодиночке, чтобы вместе составить карту региона.

Приям не терпелось начать. Прошлым утром она была на лекции Кэти Воукс из Института высших научных исследований Франции. Воукс рассказала о разработанном ей специальном тесте, который используется для выявления определенных свойств у многообразий. Если конкретнее, тест показывает, является ли граф, лежащий на поверхности конечного типа, гиперболическим.

Приям изучает тесно связанные формы (поверхности бесконечного типа), и ей хотелось выяснить, применим ли этот тест к ее области. Приям собиралась обсудить это с Кэти в один из вечеров. Моя просьба присутствовать на встрече очень удивила ее: «Когда математики размышляют, они не всегда хотят, чтобы вокруг были зрители. Это очень хрупкий процесс, когда ты просто отпускаешь мысли и позволяешь рождаться потоку идей». Тем не менее она согласилась сказать мне, когда они с Кэти приступят к работе.

Дом на дереве

После одного из обедов я отправился на поиски новых собеседников. На втором этаже я увидел Отом Кент и Яира Мински. Я попросил разрешения присоединиться к их беседе, и они не стали возражать; было видно, что они не хотели делиться таинством исследовательского процесса, но согласились из вежливости.

Отом из Университета Висконсина в Мэдисоне — крашеная блондинка с едва различимым южным акцентом. Ее имя было знакомо мне из нашумевшего в свое время интервью, которое она дала как одна из немногих транс-женщин в математике. Яир из Йельского университета — седеющий бородатый мужчина с изысканными манерами.

Темой обсуждения была проблема склеивания трехмерных многообразий, как если это были бы два обычных блока. Чтобы склеить два многообразия, необходимо деформировать их границы таким образом, чтобы они совпали. Отом и Яир пытались понять, как подобная деформация может повлиять на иные свойства многообразий.

Отом держала в руках карандаш и набрасывала в блокноте фигуры, разговаривая в процессе.

Я представил, что они обсуждают не математику, а постройку домика на дереве. У них имелись общие знания о методах строительства, но за плечами был совершенно разный опыт. Кроме того, они отличались и по характеру: Яир сначала бы семь раз отмерил, один раз отрезал, а вот Отом, казалось, уже сейчас была готова размахивать молотком.

«У нас все равно нет настоящего гиперболического многообразия, так что с рисунком можно не церемониться», — сказала Отом.

Они разбили проект на несколько составляющих: как его разместить в пространстве, какие материалы использовать и так далее. В данный момент они работали над тем, чтобы отследить, как в процессе деформации будет увеличиваться объем некоторых частей многообразия. Если не получится проконтролировать изменение объема, то будет необходимо подойти к проблеме с другой стороны. Иными словами, они выбрали материал для дома, но он может быть слишком тяжел для конструкции на дереве.

Яир задумался на минуту и наконец произнес: «Я вижу три вещи: одну точку соприкосновения и два спорных момента».

Самым удивительным в профессиональном союзе Отом и Яира была не таинственная лексика и не наброски Отом. Они были полностью поглощены процессом. У многих из нас внимание рассеивается, пока мы слушаем или говорим. Однако я заметил, что обсуждающие математику ученые сконцентрированы насколько, что такой отдачи я не видел больше нигде. Они слушают, будто осторожные исследователи неведомых земель, жизнь которых зависит от их взаимопонимания.

Быстрые свидания

Во второй половине дня во вторник прошел первый тур докладов-пятиминуток. Это было похоже на быстрые свидания, только с обменом математическими идеями.

У каждого из двенадцати математиков было пять минут, чтобы презентовать результаты своих исследований. Лимит времени строго соблюдался. Один из организаторов, Сол Шлаймер из Уорикского университета, с длинными волосами, в джинсах и туристических ботинках, сидел в первом ряду и держал iPad с таймером. Фридл, в сандалиях на тракторной подошве и мешковатой белой футболке, сидел рядом с ним со сковородкой и металлической ложкой — это был импровизированный гонг для тех, кто слишком увлекался.

Математика абстрактна, но ее идеи довольно конкретны. Ученые говорили быстро, подкрепляя свою речь записями на доске. Если вдруг вместо альфы они по ошибке писали лямбду, то стирали символ рукой, не отвлекаясь на поиски тряпки. Они исписывали и быстро меняли доски, которые не всегда удавалось закрепить в нужном положении. 

Презентации были выверенными. Этому способствовали мел, доски и необходимость быстро рассказать о своих идеях в режиме реального времени. Дело в том, что даже опытным математикам довольно сложно схватывать информацию на лету. Нужно время, чтобы обработать мысль, установить ее связь с другими мыслями и, наконец, с главной идеей, озвученной за пятнадцать минут до этого. Если выступающий пишет параллельно своему рассказу, он замедляется, что помогает не заваливать аудиторию большим количеством информации. Кроме того, это позволяет увидеть весь ход рассуждений сразу. 

Между выступающим и аудиторией установилась довольно прочная связь, примерно, как у Отом и Яира, но дискуссия была более напряженной.

Выступающие выписывали целые стены символов, казалось, желая подразнить аудиторию. Хорошо, если можно было понять одно-два слова из всего предложения. Я ловил себя пару раз на мысли, что всё выступление — просто несвязный набор фраз. Но затем, во время одной презентации, математики начали меняться местами. Из всех углов комнаты послышался шум обсуждений — словно стая привлекала внимание вожака. Наконец кто-то поднял руку и сказал: «Кажется, здесь должен быть знак больше, а не меньше», — и указал на ошибку на доске.

Ошеломленный, докладчик заметил ошибку, быстро исправил ее и продолжил. Очевидно, у всей этой процедуры был особый порядок, и все ему следовали.

Приготовим торт без яиц

В среду утром началась буря. Град громко застучал по мощеным дорожкам, его сменила метель. Организаторы решили отложить привычную прогулку на следующий день. 

После очередного дня лекций и пятиминутных докладов настроение в конце дня стало более праздничным. Люди собирались по двое-трое и болтали. За одним из столов сидел Генри Сегерман из Университета Оклахомы и показывал свою коллекцию топологических 3D-фигур. Последние семь месяцев он был в академическом отпуске, ездил по симпозиумам и друзьям и везде возил с собой эти математические игрушки.

Центром притяжения в комнате был стол, за которым в основном сидели выпускники и молодые преподаватели. Они играли в кооперативную карточную игру «Разум», часто раздавался истерический хохот. Во время нашего разговора по видеосвязи Фридл уверял меня, что эта неделя будет похожа на каникулы в кругу семьи. Тогда мне было сложно это представить. Но теперь я убедился в этом.

Приям подошла ко мне и сказала, что они с Кэти скоро начнут. Я взял блокнот и бутылку лагера и придвинул стул. 

Приям надеялась использовать разработку Кэти для определения гиперболичности графиков в решении своей математической задачи — изучении поверхностей бесконечного типа. Применение эффективного метода в нетипичной для него среде — это распространенный способ появления новой математики. Чтобы это сделать, ученым необходимо понимать, что заставляет этот метод работать. Не все условия их изначальной среды будут повторяться в новой среде, но, возможно, это и не понадобится. 

«Чтобы понять, на чем основано что-либо, нужно копнуть глубже», — пояснила мне Приям.

Позже я снова разговаривал с Дэвидом Фьютером, который привел такую аналогию: «Переносить математический метод — это как готовить свой любимый торт для гостей, у которых аллергия на яйца. Ты действительно надеешься, что сможешь приготовить точно такой же торт, но без яиц», — объяснял он. 

На Кэти был толстый шерстяной свитер, выглядела она очень серьезно. Она знала, что в ее работе по поверхностям конечного типа исследование на гиперболичность основывалось на девяти аксиомах, или условиях. Для Приям у нее были плохие новости: ей придется обходиться без яиц. 

«Давай я сразу скажу тебе, что вот эта аксиома не сработает в твоем случае», — утверждала она.

Приям еще не понимала этого. «Я сомневаюсь насчет этого условия».

Кэти чуть отошла. «Ты знаешь, что такое медианная алгебра?». Она начала объяснять. Приям моментально воодушевилась. 

Кэти не была уверена. «Я всё равно переживаю». Приям призналась, что она тоже.

Через полчаса они более-менее прояснили картину. Они знали наверняка, что по крайней мере одна из девяти аксиом не будет работать в случае Приям. Но они надеялись доказать, что можно использовать другой набор медианных аксиом. Применив их, можно было рассчитывать на исследование гиперболичности.

Но понять, возможно ли это, в ту ночь они не смогли. На фоне раздался очередной взрыв смеха за столом, где играли в настолки. 

Затерянные в лесу

В четверг днем отложенный ранее поход за шварцвальдским вишневым тортом всё-таки состоялся. Перед выходом Шлеймер, один из организаторов, объявил, что по просьбам большинства вечером состоится дополнительный раунд докладов-пятиминуток. Для меня это должно было стать последним событием в лагере. 

Около 20 математиков отправились на прогулку. Мы разделились на две группы: одни пошли через город, другие — через холм по извилистым лесным дорожкам, состояние которых после бури было непредсказуемым. Я присоединился ко второй группе и оказался в паре с Анной Парлак, выпускницей Уорикского университета. Мы созванивались с ней по скайпу до приезда в лагерь, но, оказавшись на месте, я с ней толком не пересекался. 

Мы шли под высокими соснами по грязной тропе, исполосованной следами шин. Я шел по краю в поисках более сухих участков, при этом пытаясь поддерживать беседу с Анной, которая невозмутимо поднималась по крутому спуску. Я поделился, что мне понравился ее пятиминутный доклад, с которым она выступала чуть раньше днем. В нем она упомянула, что при особых условиях два разных типа многочленных выражений могут казаться всегда равными. Но она привела примеры, в которых они таковыми не были. После доклада другой математик попросил ее объяснить, почему она считала это равенство нерушимым. Отвечая на этот вопрос, она поняла свой промах. 

«Иногда ты не можешь сам задать себе правильные вопросы, а другие люди — могут», — пояснила она. 

На перекрестке группа остановилась и принялась изучать указатели. Никто точно не знал, куда идти. Кто-то пошутил о топологах, у которых плохо с ориентированием, но на шутку особо никто не отреагировал. Наконец некоторые направились в сторону самой левой тропы, а остальные последовали за ними. 

Впереди я увидел Яира и решил догнать его. Я поинтересовался, как у них с Отом обстоят дела с контролем уровня громкости в их эксперименте. Он сказал, что всё в порядке: во вторник, когда я впервые подсел к ним за стол, они думали, что нашли решение, но к среде поняли, что оно нерабочее. Он заявил, что они в поисках нового подхода, и позже вечером Отом поделилась, что им, возможно, удалось решить этот вопрос. 

Когда мы начали спускаться обратно, я спросил у Яира про уже известную кулинарную метафору с яйцами. Однако оказалось, что ему занятие математикой больше напоминает блуждание в тумане. Иногда ты приходишь, куда тебе нужно, а иногда туман совсем немного расходится, и ты понимаешь, что идешь не туда. 

Существует очень много метафор о математике. Ее изучение сравнивают с открытием материка, постройкой домика на дереве, готовкой торта. Или блужданием в тумане. Нематематикам сложно непосредственно воспринимать первичный опыт высшей математики. Но даже экспертам для эффективного общения требуются аллюзии. Математические идеи тонкие и сложные. Объяснять их — всё равно что пытаться выразить сильную эмоцию словами или рассказать яркий, но быстро ускользающий из памяти сон. 

«Это смутные, только зарождающиеся мысли, которые еще не сформулированы даже словами», — объяснил мне Фьютер.

Учитывая сложность коммуникативной задачи, связанной с работой над новой математикой, совместное время в лесу помогает ученым. 

Впечатления и последующие шаги

Шварцвальдский вишневый торт был сухим, как мне и говорили. Но я съел его целиком. По лесу я уже прогулялся и на обратном пути присоединился к другой группе. Мы вышли из города и пошли вдоль реки Вольф. Солнце уже садилось и освещало зеленые пастбища на противоположных холмах. Небо было настолько голубым, что казалось нереальным. 

Первые пару дней в Обервольфахе каждое взаимодействие с математиками казалось формальным и осторожным, как с любыми незнакомцами. Но во время прогулки тем днем я почувствовал, что мой статус в группе изменился, я стал чем-то вроде менеджера по экипировке в баскетбольной команде — я был включен в игру, хоть и не был игроком. 

Я шел вместе с четырьмя математиками, включая Фридла. Мы наконец добрались до того момента, когда им стало интересно, что я думаю о них. Я бы не сказал, что они нарывались на комплименты, но я знал, что топологи считали себя забавными ребятами. Один из них рассказал мне, на случай, если это поможет как-то контекстуализировать мой визит, что, когда в Обервольфах приезжают арифметики, в лагере наступает смертная скука. 

Я признался, что отлично провел время. А затем засомневался, стоит ли мне заканчивать свою мысль. Но раз уж мы стали практически друзьями, я решил сделать это: «Мне кажется, большинство людей неправильно представляют себе математиков». 

«А как они представляют себе математиков?» — спросил Ричард Уэбб из Манчестерского университета, чей доклад был самым ярким за всю неделю. Я не понял, действительно ли Уэбб не знал о существующем стереотипе или просто хотел, чтобы я его разрушил.

«Ну, — набрался смелости я, — им кажется, что математики не умеют общаться с другими людьми». 

Уэбб серьезно воспринял мои слова, и я снова не мог понять, удивили они его или нет. Наконец он произнес: «Я думаю, это может относиться к студентам. Но математика везде, и чтобы стать успешным, нужно уметь общаться». 

Тем вечером все собрались вместе в аудитории на дополнительный раунд пятиминутных докладов. Сковородка и ложка были на месте, но атмосфера казалась другой — более увлекательной, как спортзал в школе, когда приходишь туда на танцы. Выяснилось, что выступающим во время доклада придется держать в руках напиток. У доски, рядом с тряпкой и мелом, Фьютер откупорил бутылку красного вина и разлил по бокалам. 

Большинство выступающих только притворялись, что пьют, но Эбигейл Томпсон из Университета Калифорнии практически довела дело до конца. Она выступала последней и рассказывала о новых исследованиях, построенных на теореме, доказывающей, что все четырехмерные множества можно разделить на три равные группы. Я быстро отметил, что, если на рынке появится больше видов заменителей яиц, можно будет испечь больше видов тортов. 

Мел перестал стучать по доске, но никто не хотел уходить. Один из математиков сбегал и принес еще две бутылки вина. Люди брали себе стулья и садились в маленькие группы, чтобы пообщаться. Кто-то захватил ноутбук, который использовался в одном из докладов, и запустил клипы ABBA на экране через проектор. 

Я нашел себе место в конце аудитории. Многие из нас уезжали на следующий день, поэтому начался разговор о пути домой: кому-то предстояло лететь в Солт-Лейк-Сити и Майами, кому-то ехать на поезде в Берлин, кто-то хотел провести время с детьми, пока не начнется рабочая неделя. 

Я вспомнил Анну, которая теперь знала о непостоянстве равенства, Яира и Отом, которые уже знали, как вырулить из тупика в решении своей задачи. Я подумал о Приям и Кэти, которые договорились пообщаться по скайпу, чтобы продолжить свое исследование. 

Я встал и собрался уходить. «Могу подлить тебе», — сказал один из математиков, указывая бутылкой в моем направлении. Но мне пришлось отказаться, ведь рано утром у меня было заказано такси. 

За несколько дней до того, как любые массовые собрания людей запретили, я успел увидеть математиков, собирающихся в лесу в Германии и до поздней ночи разговаривающих за столом. Они сидели так близко, что их колени соприкасались. В любой математической задаче лишь один ответ, но часто, чтобы его найти, нужно объединять мысли друг с другом. Теперь после недели в Обервольфахе для меня вокруг стало куда больше математики.

По материалам Quanta Magazine
Автор: Кевин Хартнетт 
Фото: Тхи Май Лиен Нгуен

Переводили: Вера Баскова, Апполинария Белкина
Редактировала: Анастасия Железнякова